Question

【題目】四棱錐S-ABCD的底面為正方形，，AC與BD交于E，M，N分別為SD，SA的中點，.

（1）求證：平面平面SBD；

（2）求直線BD與平面CMN所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）通過證明，，證明平面SAC，即可得證；

（2）建立空間直角坐標系，利用向量關系得線面角.

解：（1）因為，故，

故，

則，

而，

故，

而，

故平面ABCD，

而平面ABCD，故，

又，

故平面SAC，

而平面SBD，

故平面平面SBD；

（2）以C為原點，分別以CD，CB，CS所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，

，

則，

設平面CMN的法向量為，

由，即，

令，故為平面CMN的一個法向量，

記直線BD與平面CMN所成角為，

故

則直線BD與平面CMN所成角為.