Question

【題目】已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，平面ABCD，且.

（1）求證：平面PBD；

（2）若PB與平面ABCD所成的角為，求二面角D-PC-B的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，（2）

【解析】

（1）取CD的中點E，連接AE，BE，BD，證明四邊形ABED為正方形，得到，再由線面垂直可得，即可證明平面PBD，再證四邊形ABCE為平行四邊形，即可得證.

（2）以點D為坐標原點，分別以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出二面角的余弦值.

解：（1）證明：取CD的中點E，連接AE，BE，BD.

.

又，

四邊形ABED為正方形，則.

平面ABCD，平面ABCD，

.

平面PBD，平面PBD.

平面PBD.

，

四邊形ABCE為平行四邊形，

平面PBD.

（2）平面ABCD，

為PB與平面ABCD所成的角，

即，則.

設，則.

以點D為坐標原點，分別以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，.

平面PDC，

平面PDC的一個法向量.

設平面PBC的法向量，

，

則，

取，則.

設二面角D-PC-B的平面角為，

.

由圖可知二面角D-PC-B為銳角，

故二面角D-PC-B的余弦值為.