Question

已知橢圓F：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過D（2，0），E（1，

3

2

）兩點．
（I）求橢圓F的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與F交于不同兩點A，B，點G是線段AB中點，點O為坐標原點，設射線OG交F于點Q，且

OQ

=2

OG

．
①證明：4m²=4k²+1；
②求△AOB的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得

4 a2 =1 1 a2 + 3 4b2 =1

，由此能示出橢圓方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+m x2+4y2-4=0

，消去y，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用根的判別式、韋達定理、中點坐標公式，結合已知條件能證明4m²=1+4k²．
②由已知條件得m≠0，|x₁-x₂|=

( -8km 1+4k2 )2-4× 4m2-4 1+4k2

=

4 1+4k2-m2

1+4k2

，由此能求出△AOB的面積．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓F：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過D（2，0），E（1，

3

2

）兩點，
∴

4 a2 =1 1 a2 + 3 4b2 =1

，解得

a=2 b=1

，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1
（Ⅱ）①證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2+4y2-4=0

，消去y，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴

△=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)＞0 x1+x2= -8km 1+4k2 x1x2= 4m2-4 1+4k2

，即

m2＜1+4k2 x1+x2= -8km 1+4k2 x1x2= 4m2-4 1+4k2

，（1）
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

k(-8km)

1+4k2

+2m=

2m

1+4k2

，
又由中點坐標公式，得G(

-4km

1+4k2

，

m

1+4k2

)，
將Q（

-8km

1+4k2

，

2m

1+4k2

）代入橢圓方程，得

16k2m2

(1+4k2)2

+

4m2

(1+4k2)2

=1，
化簡，得4m²=1+4k²，（2）．
②解：由（1），（2）得m≠0，
且|x₁-x₂|=

( -8km 1+4k2 )2-4× 4m2-4 1+4k2

=

4 1+4k2-m2

1+4k2

，（3）
在△AOB中，S△AOB=

1

2

|m|•|x1-x2|，（4）
結合（2）、（3）、（4），得S_△AOB=

2 3 m2

4m2

=

3

2

，
∴△AOB的面積是

3

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查方程的證明，考查三角形面積的求法，解題時要認真審題，注意弦長公式的合理運用．