Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a1= - 

2

3

，滿足Sn+

1

Sn

+2=an(n≥2)．
（Ⅰ）分別計算S₁，S₂，S₃，S₄的值并歸納S_n的表達式（不需要證明過程）；
（Ⅱ）記f（1）=-a₁，f（n）=-a_3n（n≥2），證明：f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)＜

13

18

(n∈N*)．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式,歸納推理

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由Sn+

1

Sn

+2=an(n≥2)得：Sn=-

1

2+Sn-1

，代入計算，可得S₁，S₂，S₃，S₄的值，從而歸納S_n的表達式；
（Ⅱ）f（n）=-a_3n（n≥2），利用放縮、裂項求和，即可證明結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：由Sn+

1

Sn

+2=an(n≥2)得：Sn=-

1

2+Sn-1

又S1=a1=-

2

3

，經(jīng)計算得：S2=-

3

4

，S3=-

4

5

，S4=-

5

6

…（4分）
由以上結(jié)果歸納得：Sn=-

n+1

n+2

..…（6分）
（Ⅱ）證明：由第一問知：a1= - 

2

3

，當n≥2時，an=-

1

(n+1)(n+2)

=-

1

n2+3n+2

..…（8分）
所以f(1)=-a1=

2

3

＜

13

18

..…（9分）
當n≥2時，f(n)=-a3n=

1

9n2+9n+2

＜

1

9n2+9n

=

1

9

•

1

n(n+1)

＜

1

9

(

1

n

-

1

n+1

)..…（12分）
從而f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)＜

2

3

+

1

9

(

1

2

-

1

n+1

)＜

2

3

+

1

9

•

1

2

=

13

18

..…（13分）
綜上所述：對n∈N^*，都有f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)＜

13

18

．．…（14分）

點評：本題考查數(shù)列的求和，考查放縮、裂項求和，考查小時分析解決問題的能力，正確放縮、裂項求和是關鍵．