Question

已知函數(shù)f(x)=logm

1+x

1-x

，其中m＞0，m≠1．
（1）判斷函數(shù)f（x）奇偶性并加以證明；
（2）已知|a|＜1，|b|＜1，且f(

a+b

1+ab

)=1，f(

a-b

1-ab

)=2，求[f（a）]²-[f（b）]²的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)對數(shù)性質(zhì)，求出函數(shù)f（x）的定義域，先判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱，再判斷f（-x）與-f（x）的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)f（x）奇偶性的定義可得答案．
（2）由已知根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，可得f（a）+f（b）=1，f（a）-f（b）=2，進而可得答案．

解答：解：（1）f（x）為奇函數(shù)，證明如下：
函數(shù)f(x)=logm

1+x

1-x

的定義域為（-1，1）關(guān)于原點對稱，
f（x）+f（-x）=logm

1+x

1-x

+logm

1-x

1+x

=log_m1=0
即f（-x）=-f（x）
即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
（2）由題意可得f(

a+b

1+ab

)=logm(

1+a

1-a

•

1+b

1-b

)=logm(

1+a

1-a

)+logm(

1+b

1-b

)=f（a）+f（b）=1
f(

a-b

1-ab

)=logm(

1+a

1-a

÷

1+b

1-b

)=logm(

1+a

1-a

)-logm(

1+b

1-b

)=f（a）-f（b）=2
∴f(a)=

3

2

，f(b)=-

1

2

∴[f（a）]²-[f（b）]²=2

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)的奇偶性，對數(shù)的運算性質(zhì)，熟練掌握對數(shù)的運算性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．