Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-

3

2

ax2-(a-3)x+b
（1）若函數f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數a，b的值：
（2）當a＜3時，令g(x)=

f′(x)

x

，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用導數的幾何意義：導數在切點處的導數值是曲線的切線的斜率，再與y=5x+l比較列出關于a，b的方程組，解之即得實數a，b的值．
（2）先求出g（x）的導數，令導函數為0求出根，判斷根左右兩邊的導函數符號，判斷出函數的單調性，求出函數的最值．

解答：解：（1）f（x）=x²-3ax-a+3，
函數f（x）在點P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，

f′(0)=-a+3=5 f(0)=b=1

則∴a=-2，b=1，（4分）
（2）g(x)=

f′(x)

x

-

x2-3ax-a+3

x

g′(x)=

(2x-3a)x-(x2-3ax-a+3)

x2

=

x2-(3-a)

x2

（6分）
因為在[1，2]上求y=g（x）的最大值，故只討論x＞O時，g（x）的單調性．
∵a＜3∴3-a＞O，令g’（x）=0

•

?

x=

3-a

∵當0＜x＜

3-a

時，g'（x）＜O，g（x）單調遞減；
當x≥

．	3-a

時，g'（x）＞0．g（x）單調遞增．lO分
∴當x=1或x=2時．g（x）取得最大值g（1）或g（2）
其中g（1）=4-4a，g(2)=

7-7a

2

，由g（1）＞g（2）得4-4a＞

7-7a

2

?a＜1
故當a＜1時，g（x）_max=g（1）=4-4a；
當1≤a＜3時，g(x)max=g(2)=

7-7a

2

（14分）

點評：本題考查導數的幾何意義：導數在切點處的導數值是曲線的切線的斜率、函數的單調性與導函數符號的關系、利用導數求函數的最值、分類討論的數學思想方法．