Question

已知函數f(x)=

1

2

x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[

1

e

，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）對函數求導，求出當自變量等于2時的函數值，求出函數在這一點的切線的斜率，根據點斜式寫出切線的方．
（II）根據上一問做出的函數的解析式，對函數求導．使得導數等于0，做出函數的隨x的變化，f（x），f^′（x）的變化情況，看出函數的最值，得到要求的結果

解答：解：（I）∵f′(x)=x-

a

x

∴f′(2)=2-

a

2

=1，a=2，
∴f(x)=

1

2

x2-2lnx，f（2）=2-2ln2
∵點P（2，f（2））在y=x+b上，
∴b=2，
l：y=x-2ln2
（II）由（I）知f(x)=

1

2

x2-2lnx，
f′(x)=x-

2

x

=

(x- 2 )(x+ 2 )

x

，
當f^′（x）=0時，x=

2

∴隨x的變化，f（x），f^′（x）的變化如下：

由表可知當x∈[

1

e

，e]時，函數的最大值為2+

1

2e2

∴k＞2+

1

2e2

點評：本題考查導數的應用，是一個基礎題，本題解題的關鍵是能夠正確寫出函數的導函數，根據導函數分析函數的單調性和求出最值．