【題目】已知函數
.
（1）當
時，設
.討論函數
的單調性；
（2）證明當
.
【答案】（1）當
時，
在
上是增函數；
當
時，在
上是減函數，在
上是增函數.
（2）見解析.
【解析】
試題（1）求導數，研究導函數值的正負，確定單調區間.
由于
，當
時，
.
所以，討論當
，即
時，當
，即
時，即得結論；
（2）構造函數
，由于導數，通過確定函數的單調性及最值，達到解題目的.
由于
，
所以令
，再次利用導數加以研究
，
當
時， 
在
上是減函數，
當
時， 在
上是增函數，
又
得到當
時,恒有
,即
,
在
上為減函數，由
，得證.
（1）
，所以． 2分
當時，，故有：
當，即時，
，
；
當，即時，，
令，得
；令
，得
， 5分
綜上，當時，在上是增函數；
當時，在
上是減函數，在上是增函數． 6分
（2）設，則，
令，則， 8分
因為
，所以當時，
；在上是減函數，
當時，
，在上是增函數，
又所以當時,恒有,即,
所以在上為減函數，所以，
即當
時，
. 13分
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某快餐連鎖店招聘外賣騎手，該快餐連鎖店提供了兩種日工資方案：方案①：規定每日底薪50元，快遞業務每完成一單提成3元；方案②：規定每日底薪100元，快遞業務的前44單沒有提成，從第45單開始，每完成一單提成5元.該快餐連鎖店記錄了每天騎手的人均業務量.現隨機抽取100天的數據，將樣本數據分為
，
，
，
，
，
，
七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）隨機選取一天，估計這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業務量不少于65單的概率；
（2）若騎手甲、乙選擇了日工資方案①，丙、丁選擇了日工資方案②.現從上述4名騎手中隨機選取2人，求至少有1名騎手選擇方案①的概率；
（3）若從人均日收入的角度考慮，請你利用所學的統計學知識為新聘騎手做出日工資方案的選擇，并說明理由.（同組中的每個數據用該組區間的中點值代替）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，給出下列關于
的性質：
①是周期函數，3是它的一個周期；
②是偶函數；
③方程
有有理根；
④方程
與方程
的解集相同；
⑤是周期函數，
是它的一個周期．
其中正確的個數為（ ）
A.4個B.3個C.2個D.1個
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，其中
，
.
（1）當
時，解不等式
；
（2）若函數
在區間
內恰有一個零點，求
的取值范圍；
（3）設
，當函數的定義域為
時，值域為
，求a，b的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】江夏一中將要舉行校園歌手大賽，現有3男3女參加，需要安排他們的出場順序．（結果用數字作答）
（1）如果3個女生都不相鄰，那么有多少種不同的出場順序？
（2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相鄰），那么有多少種不同的出場順序？
（3）如果3位男生都相鄰，且女生甲不在第一個出場，那么有多少種不同的出場順序？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機抽取
名中學生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如表所示．
組號 | 分組 | 頻數 | 頻率 |
第1組 |
| 5 |
|
第2組 |
| ① |
|
第3組 |
| 30 | ② |
第4組 |
| 20 |
|
第5組 |
| 10 |
|
（1）請先求出頻率分布表中
位置的相應數據，再完成頻率分布直方圖；
（2）為了能選拔出最優秀的學生，高校決定在筆試成績高的第
組中用分層抽樣抽取名學生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試；
（3）在（2）的前提下，學校決定在
名學生中隨機抽取
名學生接受
考官進行面試，求：第
組至少有一名學生被考官面試的概率．
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