Question

【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長為.

（1）求的方程；

（2）如圖，經過橢圓左頂點且斜率為的直線與交于兩點，交軸于點，點為線段的中點，若點關于軸的對稱點為，過點作（為坐標原點）垂直的直線交直線于點，且面積為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據橢圓的離心率為，短軸長為，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、 即可得結果；（2）設直線的方程為，與橢圓方程聯立，結合韋達定理求得直線的斜率，可得直線方程，與直線的方程聯立求得點，根據點到直線的距離公式、弦長公式以及三角形面積公式可得，從而可得結果.

（1）由題意，知.

解得.

橢圓的方程為.

（2）易知，橢圓的左頂點，

設直線的方程為，則.

由消去并整理，得.

設，

.

，.

，，

，直線的斜率為.

直線方程為，直線的方程為.

點.

點到直線的距離為.

.

.

.

，，解得.