Question

【題目】已知函數．

（1）求函數的極值；

（2）設函數．若存在區間，使得函數在上的值域為，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 極小值為，沒有極大值．(2)

【解析】

（1）根據題意，先對函數進行求導，解出的根，討論方程的解的左右兩側的符號，確定極值點，從而求解出結果。

（2）根據題意，將其轉化為在上至少有兩個不同的正根，再利用導數求出的取值范圍。

解：（1）定義域為，，

時，，時，，

∴在上是減函數，在上是增函數，

∴的極小值為，沒有極大值．

（2），

則，令，

則．

當時，，（即）為增函數，

又，

所以在區間上遞增．

因為在上的值域是，

所以，，，

則在上至少有兩個不同的正根．

，令，

求導得．

令，則，

所以在上遞增，，，

當時，，∴，

當時，，∴，

所以在上遞減，在上遞增，

所以，所以．