Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求在區間的最值；

（2）求實數的取值范圍，使在區間上是單調函數；

（3）當時，求的單調區間.

Answer 1

【答案】(1) f(x)min=－1，f(x)max＝35.(2)a≥4或a≤－6. (3)f(x)在上單調遞減，在單調遞增。

【解析】試題分析：

(1)由題意結合二次函數的性質可得函數的最值為：f(x)min＝f(2)＝－1，f(x)max＝f(－4)＝35.

(2)首先確定二次函數的對稱軸為x=-a，據此得到關于實數a的不等式，求解不等式可得實數的取值范圍是a≥4或a≤－6.

(3)首先繪制出函數f(|x|)的圖象，結合函數的圖象可得f(x)在上單調遞減，在單調遞增。

試題解析：

(1)當a＝－2時，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，則函數在[－4,2)上為減函數，在(2,6]上為增函數，所以f(x)min＝f(2)＝－1，f(x)max＝f(－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35.

(2)函數f(x)＝x2＋2ax＋3的對稱軸為x＝－＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上為單調函數，

只需－a≤－4或－a≥6，解得a≥4或a≤－6.

(3)當a＝－1時，f(|x|)＝x2－2|x|＋3

＝其圖象如圖所示：

∴f(x)在上單調遞減，在單調遞增。