Question

【題目】定義f″（x）是y=f（x）的導函數y=f′（x）的導函數，若方程f″（x）=0有實數解x0 ， 則稱點（x0 ， f（x0））為函數y=f（x）的“拐點”．可以證明，任意三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐點”和對稱中心，且“拐點”就是其對稱中心，請你根據這一結論判斷下列命題：
①存在有兩個及兩個以上對稱中心的三次函數；
②函數f（x）=x3﹣3x2﹣3x+5的對稱中心也是函數 的一個對稱中心；
③存在三次函數h（x），方程h′（x）=0有實數解x0 ， 且點（x0 ， h（x0））為函數y=h（x）的對稱中心；
④若函數 ，則 =﹣1007.5．
其中正確命題的序號為（把所有正確命題的序號都填上）．

Answer 1

【答案】②③④
【解析】解：∵任何三次函數的二階導數都是一次函數，∴任何三次函數只有一個對稱中心，故①不正確；由f（x）=x3﹣3x2﹣3x+5，得f′（x）=3x2﹣6x﹣3，f″（x）=6x﹣6，由6x﹣6=0，得x=1，函數f（x）的對稱中心為（1，0），
又由 ，得x=k，k∈Z，∴f（x）的對稱中心是函數 的一個對稱中心，故②正確；
∵任何三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心，
∴存在三次函數f′（x）=0有實數解x0 ， 點（x0 ， f（x0））為y=f（x）的對稱中心，即③正確；
∵ ，
∴g′（x）=x2﹣x，g'（x）=2x﹣1，
令g'（x）=2x﹣1=0，得x= ，
∵g（ ）= ×（ ）3﹣ ×（ ）2﹣ =﹣ ，
∴函數 的對稱中心是（ ，﹣ ），
∴g（x）+g（1﹣x）=﹣1，
∴ =﹣1007.5，故④正確．
所以答案是：②③④．
【考點精析】掌握命題的真假判斷與應用是解答本題的根本，需要知道兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．