Question

【題目】（本小題滿分16分）如圖，有一個長方形地塊ABCD，邊AB為2km， AD為4 km.，地塊的一角是濕地（圖中陰影部分），其邊緣線AC是以直線AD為對稱軸，以A為頂點的拋物線的一部分.現要鋪設一條過邊緣線AC上一點P的直線型隔離帶EF，E，F分別在邊AB，BC上（隔離帶不能穿越濕地，且占地面積忽略不計）.設點P到邊AD的距離為t（單位:km），△BEF的面積為S（單位: ）.

（1）求S關于t的函數解析式，并指出該函數的定義域;

（2）是否存在點P，使隔離出的△BEF面積S超過3 ?并說明理由.

Answer 1

【答案】（1），定義域為，（2）不存在點

【解析】

試題分析：（1）求S關于t的函數解析式，關鍵在求出拋物線在點P的切線方程：先根據拋物線過點C，求出拋物線的方程為．再由得過的切線方程為，從而，，，函數的定義域（2）本題實質求△BEF面積S的值域，判斷3是否為在其值域內：由得在上是增函數，在上是減函數，在上有最大值，所以不存在點，使隔離出的△面積超過3．

試題解析：

（1）如圖，以為坐標原點，所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，則點坐標為． 1分

設邊緣線所在拋物線的方程為，

把代入，得，解得，

所以拋物線的方程為． 3分

因為， 4分

所以過的切線方程為． 5分

令，得；令，得， 7分

所以， 8分

所以，定義域為． 9分

（2）， 12分

由，得，

所以在上是增函數，在上是減函數， 14分

所以在上有最大值．

又因為，

所以不存在點，使隔離出的△面積超過3． 16分