Question

【題目】已知函數f（x）=ax3+bx2的圖象經過點M（1，4），曲線在點M處的切線恰好與直線x+9y=0垂直．
（1）求實數a，b的值；
（2）若函數f（x）在區間[m，m+1]上單調遞增，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ax3+bx2的圖象經過點M（1，4），∴a+b=4①式 …（1分）

f'（x）=3ax2+2bx，則f'（1）=3a+2b

由條件 ②式

由①②式解得a=1，b=3

（2）解：f（x）=x3+3x2，f'（x）=3x2+6x，

令f'（x）=3x2+6x≥0得x≥0或x≤﹣2，

∵函數f（x）在區間[m，m+1]上單調遞增

∴[m，m+1]（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝）

∴m≥0或m+1≤﹣2

∴m≥0或m≤﹣3

【解析】（1）將M的坐標代入f（x）的解析式，得到關于a，b的一個等式；求出導函數，求出f′（1）即切線的斜率，利用垂直的兩直線的斜率之積為﹣1，列出關于a，b的另一個等式，解方程組，求出a，b的值．（2）求出 f′（x），令f′（x）＞0，求出函數的單調遞增區間，據題意知[m，m+1]（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝），列出端點的大小，求出m的范圍．
【考點精析】通過靈活運用導數的幾何意義，掌握通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數在處的導數就是切線PT的斜率k，即即可以解答此題．