Question

(08年泉州一中適應性練習理)（14分）

數列中，， (為常數，) ，且

（1）求的值；

（2）① 證明：；

② 猜測數列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；

（3）比較與的大小，并加以證明.

Answer 1

 解析：（Ⅰ）依題意，

由，得，

解得，或（舍去）.                                                

（Ⅱ）解：

① 證明：因為，

當且僅當時，.

因為，所以，即  () .               

      ② 數列有極限，          且 .                                                 

（Ⅲ）解：

由，可得，

從而.

因為，所以

所以

 

因為，由（Ⅱ）① 得   ().      

下面證明：對于任意，有成立.

當時，由，顯然結論成立.

假設結論對時成立，即

因為，且函數在時單調遞增，

所以.

即當時，結論也成立.       于是，當時，有成立.        

根據得 .                                             由 及， 經計算可得

所以，當時， ；      當時，；

當時，由，  得.              ……