Question

【題目】已知拋物線與

橢圓的一個交點為，點

是的焦點，且.

(1)求與的方程；

(2)設為坐標原點，在第一象限內，橢圓上是否存在點，使過作的垂線交拋物線于，直線交軸于，且?若存在，求出點的坐標和的面積；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 見解析

【解析】

（1）利用拋物線的定義求，點的坐標代入求出，的值；
（2）設出，的方程與橢圓、拋物線分別聯立，求出的橫坐標，利用，即可得出結論．

（1）由拋物線定義：，所以的方程為，將代入得，即，將代入，得，故方程為.即

（2）由題意：直線的斜率存在且不為0，設的方程為，由于，則的方程為，由得

由，得，得（舍）或

在第一象限內，若滿足的點存在，則，此時，

設直線與軸交于點，由于，

所以，故，即為線段中點，

因此，即，解得，

故存在適合題意的，此時，

此時 方程為，即，

點到的距離，，所以