Question

【題目】某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費對年銷售量（單位：）的影響.該公司對近5年的年宣傳費和年銷售量數據進行了研究，發現年宣傳費（萬元）和年銷售量（單位：）具有線性相關關系，并對數據作了初步處理，得到下面的一些統計量的值.

（萬元）	2	4	5	3	6
（單位：）	2.5	4	4.5	3	6

（1）根據表中數據建立年銷售量關于年宣傳費的回歸方程；

（2）已知這種產品的年利潤與，的關系為，根據（1）中的結果回答下列問題：

①當年宣傳費為10萬元時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？

②估算該公司應該投入多少宣傳費，才能使得年利潤與年宣傳費的比值最大.

附：問歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.

參考數據：，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①年銷售量為9.1，年利潤的預報值為2.25；②5萬元

【解析】

（1）利用回歸直線方程計算公式，計算出回歸直線方程.

（2）①先求得年利潤關于的表達式，然后將分別代入回歸直線方程和年利潤的函數表達式，由此求得年銷售量及年利潤的預報值

②求得年利潤與年宣傳費的比值的表達式，利用基本不等式求得時，年利潤與年宣傳費的比值最大.

（1）由題意，，

，

，

.

（2）①由（1）得，

當時，，.

即當年宣傳費為10萬元時，年銷售量為9.1，年利潤的預報值為2.25.

②令年利潤與年宣傳費的比值為，則，.

當且僅當即時取最大值.故該公司應該投入5萬元宣傳費，才能使得年利潤與年宣傳費的比值最大.