Question

【題目】如圖，在四棱錐中，已知平面，，，，．

（1）求證：；

（2）若直線(xiàn)與平面所成的角為，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）2

【解析】

（1）先根據(jù)給出的線(xiàn)面位置關(guān)系和長(zhǎng)度關(guān)系求得和，即可得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理證得平面，最后根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)得到線(xiàn)線(xiàn)垂直即可；

（2）取的中點(diǎn)，連接，先求證，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解.

（1）連接，在中，

，，，

.

，，

.

在中，

，

，

，

.

，

，

.

平面，平面，

.

又平面，平面，，

平面.

平面，

（2）取的中點(diǎn)，連接，

，，

且，

四邊形是平行四邊形，

.

，

.

又平面，

，，

故，，兩兩垂直，

故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，

，

，，，，

，，.

設(shè)平面的法向量為，

則，即，

令，則，，

故為平面的一個(gè)法向量

直線(xiàn)與平面所成的角為，

，

，

的長(zhǎng)為.