Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，三角形ABC為等腰直角三角形，AC=BC= ，AA1=1，點D是AB的中點．
（1）求證：AC1∥平面CDB1；
（2）二面角B1﹣CD﹣B的平面角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，

設BC1∩B1C=E，則E為BC1的中點，連接ED

∵D為AB的中點，∴ED∥AC

又∵ED平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1．

（2）解：∵△ABC中，AC=BC，D為AB中點，∴CD⊥AB，

又∵BB1⊥平面ABC，CD平面ABC，∴BB1⊥CD，

又AB∩BB1=B，∴CD⊥平面ABB1A1，

∵B1D平面ABB1A1，AB平面ABB1A1

∴CD⊥B1D，CD⊥AB，

∴∠B1DB為二面角B1﹣CD﹣B的平面角

∵三角形ABC中，AB=2，∴BD=1，

在Rt△B1BD中， ，

∴∠B1BD=45°，

∴二面角B1﹣CD﹣B的平面角的大小為45°．

【解析】（1）設BC1∩B1C=E，連接ED，則ED∥AC，由此能證明AC1∥平面CDB1．（2）推導出CD⊥AB，BB1⊥CD，從而CD⊥平面ABB1A1，進而CD⊥B1D，CD⊥AB，∠B1DB為二面角B1﹣CD﹣B的平面角，由此能求出二面角B1﹣CD﹣B的平面角的大小．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的判定，需要了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能得出正確答案．