Question

如圖，已知橢圓E的中心是原點(diǎn)O，其右焦點(diǎn)為F(2，0)，過(guò)x軸上一點(diǎn)A(3,0)作直線(xiàn)與橢圓E相交于P,Q兩點(diǎn),且的最大值為.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè),過(guò)點(diǎn)P且平行于y軸的直線(xiàn)與橢圓E相交于另一點(diǎn)M,試問(wèn)M,F,Q是否共線(xiàn)，若共線(xiàn)請(qǐng)證明；反之說(shuō)明理由.

Answer 1

(Ⅰ) ； (Ⅱ)參考解析

試題分析：(Ⅰ)因?yàn)橛医裹c(diǎn)為F(2，0)，所以可得c=2,又因?yàn)檫^(guò)x軸上一點(diǎn)A(3,0)作直線(xiàn)與橢圓E相交于P,Q兩點(diǎn),且的最大值為.所以.再利用橢圓中的關(guān)系式.即可求出b的值，從而可得結(jié)論.
(Ⅱ)假設(shè).通過(guò)以及點(diǎn)在橢圓上，消去.即可得一個(gè)用表示的一個(gè)等式.又由于.通過(guò)對(duì)比向量與即可得結(jié)論.
試題解析：（1）由題意可知：，則，，從而，故所求橢圓的方程為．                   5分
（2）解：三點(diǎn)共線(xiàn).
證明：，由已知得方程組
注意到，解得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240331578081037.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
,
又
，所以，從而三點(diǎn)共線(xiàn)。            12分