Question

定義：對于兩個雙曲線,,若的實軸是的虛軸，的虛軸是的實軸，則稱,為共軛雙曲線.現給出雙曲線和雙曲線，其離心率分別為.
（1）寫出的漸近線方程（不用證明）；
（2）試判斷雙曲線和雙曲線是否為共軛雙曲線？請加以證明.
（3）求值：.

Answer 1

（1）、；（2）是；（3）1.

試題分析：（1）由其圖像很容易知道的漸近線方程即軸和一、三象限的角平分線.從而寫出
的漸近線方程都是：和；（2）先利用漸近線與實軸、虛軸間的關系得到的實軸所在直線為
與虛軸所在直線為.然后計算實軸與雙曲線
的交點，從而得到、 、.同理也可得到的類似數據，從
而得到證明；（3）由上問即可得到，，所以="1" .
試題解析：（1）的漸近線方程都是：和.               3分
（2）雙曲線是共軛雙曲線.                            4分
證明如下： 對于，實軸和虛軸所在的直線是和的角平分線所
的直線， 所以的實軸所在直線為，
虛軸所在直線為，                       6分
實軸和的交點到原點的距離的平方.
又，所以 從而得；     8分
同理對于，實軸所在直線為，
虛軸所在直線為，
實軸和的交點到原點的距離的平方
 ，所以，從而得.
綜上所述，雙曲線是共軛雙曲線.                             10分
（3） 由（2）易得，，
所以="1" .                                                13分