Question

已知拋物線，點，過的直線交拋物線于兩點.
（1）若，拋物線的焦點與中點的連線垂直于軸，求直線的方程；
（2）設為小于零的常數，點關于軸的對稱點為，求證：直線過定點

Answer 1

（1）；（2）參考解析

試題分析：（1）由題意可得通過假設直線方程聯立拋物線方程，消去y可得一個一元二次方程，通過韋達定理寫出根與系數的關系.由中點的橫坐標等于拋物線的焦點坐標的橫坐標可解出直線的斜率k的值.即可求出直線方程.
（2）由直線方程與拋物線的方程聯立可得，關于點A,B的坐標關系，從而得到的坐標，寫出直線B的方程.由于其中含有A,B的坐標值，通過整理成為的形式即可知道，直線恒過定點.
試題解析：（1）解：由已知，拋物線的焦點坐標為.
設過點的直線的方程為，
由   得.
設，，則.
因為與中點的連線垂直于軸，所以，即.
解得 ，.
所以，直線的方程為.
（2）證明：設直線的方程為.
由  得，
則，且，即，且.
.
因為關于軸對稱，所以，直線，
又 ，，所以，
所以 .
因為 ，又同號，，
所以 ，
所以直線的方程為，
所以，直線恒過定點.