Question

已知橢圓經過點,離心率為．
(1)求橢圓C的方程：
(2)過點Q(1,0)的直線l與橢圓C相交于A、B兩點,點P(4,3),記直線PA,PB的斜率分別為k₁,k₂,當k₁·k₂最大時,求直線l的方程．

Answer 1

(1) .(2).

試題分析：(1) 由已知建立方程組 ①  ②， 即得解.
(2)兩種思路，一是討論①當直線的斜率為0，②當直線的斜率不為0的情況；二是討論①當直線垂直于x軸，②當直線與x軸不垂直的情況.兩種情況的不同之處在于，直線方程的靈活設出.
第一種思路可設直線的方程為, 第二種思路可設直線的方程為.兩種思路下，都需要聯立方程組，應用韋達定理，簡化解題過程.
本題是一道相當典型的題目.
試題解析：(1) 由已知可得，所以    ①               1分
又點在橢圓上，所以    ②               2分
由①②解之，得.
故橢圓的方程為.                                   4分
(2)解法一：①當直線的斜率為0時,則;       5分
②當直線的斜率不為0時,設,,直線的方程為,
將代入,整理得.        7分
則,                                 9分
又,,
所以, 

                                 11分
令,則
當時即時，；
當時，
 或
當且僅當,即時, 取得最大值.               13分
由①②得,直線的方程為.                  14分
解法二：①當直線垂直于x軸時,則;
②當直線與x軸不垂直時,設,,直線的方程為,
將代入,整理得.
則
又,,
所以,  
令由得或
所以當且僅當時最大，所以直線的方程為.