Question

(本題12分)在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，其焦點在圓上．
⑴求橢圓的方程；
⑵設、、是橢圓上的三點(異于橢圓頂點)，且存在銳角，使．
①試求直線與的斜率的乘積；
②試求的值．

Answer 1

(1) ．(2) (i) ，
(ii)=．

(1)易知焦點坐標為(-1,0),(1,0),再根據離心率求出a,進而求出b的值.從而確定橢圓的方程.
(2)設，設,因，
故,再根據M在橢圓上，可得,
然后再利用點A、B在橢圓上這個條件，得到兩個方程，以此對上面的方程化簡，可求出直線與的斜率的乘積.
(ii) 因為=,然后可以根據（i）的結論，得到,
從而,又因，所以.問題到此得以解決.
(1)依題意得, 于是． 
所以所求橢圓的方程為．
(2) (i)設，則   ①
   ②．
又設,因，
故
因在橢圓上，
故
整理得：
將①②代入上式，并由得
所以
(ii)，
故
又
故
所以，=．