Question

【題目】已知橢圓：（）過點與.

（1）求橢圓的方程；

（2）設過橢圓的右焦點，且傾斜角為的直線和橢圓交于、兩點，對于橢圓上任一點，若，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）把已知點的坐標代入橢圓方程，得到關于，的方程組，求解可得，的值，則橢圓的方程可求；

（2）由（1）知，，，由題意可知的方程，與橢圓方程聯立，化為關于的一元二次方程，由，，在橢圓上及根與系數的關系可得，再由基本不等式求最值．

解：（1）∵橢圓過點與，∴，.

∴，，∴橢圓的方程為.

（2）由（1）知，由題意可知的方程為，①

橢圓的方程可化為，②

將①代入②消去，得，③

設，，則有，，

設，由得，

∴又點在橢圓上，

∴

，④

又，在橢圓上，故有，，⑤

而

，⑥

將⑤⑥代入④可得，

∵，

∴，當且僅當時取“=”，則的最大值為.