Question

【題目】已知定義在R上的函數f（x）是滿足f（x）+f（﹣x）=0，在（﹣∞，0）上 ，且f（5）=0，則使f（x）＜0的x取值范圍是

Answer 1

【答案】【分析】由條件及奇函數、減函數的定義便知f（x）為奇函數，且在（﹣∞，0），（0，+∞）上為減函數，且有f（﹣5）=f（5）=0，從而可分別討論x＞0，和x＜0從而得出 ，或 ，這樣根據f（x）的單調性即可得出x的取值范圍．
【解析】解：根據條件知，f（x）在R上為奇函數，在（﹣∞，0）上單調遞減；
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞減，且f（﹣5）=f（5）=0；
∴①x＞0時，由f（x）＜0得，f（x）＜f（5）；
∴x＞5；
②x＜0時，由f（x）＜0得，f（x）＜f（﹣5）；
﹣5＜x＜0；
∴x的取值范圍為（﹣5，0）∪（5，+∞）．
所以答案是：（﹣5，0）∪（5，+∞）．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的性質的相關知識，掌握函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集．