Question

對于定義在D上的函數y=f（x），若同時滿足①存在閉區間[a，b]⊆D，使得任取x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c（c是常數）；②對于D內任意x₂，當x₂∉[a，b]時總有f（x₂）＞c；則稱f（x）為“平底型”函數．
（1）判斷f₁（x）=|x-1|+|x-2|，f₂（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函數？簡要說明理由；
（2）設f（x）是（1）中的“平底型”函數，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），（k∈R，k≠0）對一切t∈R恒成立，求實數x的范圍；
（3）若是“平底型”函數，求m和n的值．

Answer 1

解：（1）f₁（x）=|x-1|+|x-2|是“平底型”函數，
存在區間[1，2]使得f₁（x）=1，在區間[1，2]外，f₁（x）＞1，
f₂（x）=x+|x-2|不是“平底型”函數，
∵在（-∞，0]上，f₂（x）=2，在（-∞，0]外，f₂（x）＞2，（-∞，0]不是閉區間．
（2）若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），（k∈R，k≠0）對一切t∈R恒成立
即 f（x）≤|-1|+|+1|，
∵|-1|+|+1|的最小值是2，∴f（x）≤2，
又由f（x）=|x-1|+|x-2|，得 x∈[0.5，2.5]時，f（x）≤2，故x的范圍是[0.5，2.5]．
（3）∵是“平底型”函數
x²+2x+n=（mx-c）²
則m²=1，-2mc=2，c²=n；解得m=1，c=-1，n=1，①，或m=-1，c=1，n=1，②
①情況下，f（x）=是“平底型”函數；
②情況下，f（x）=不是“平底型”函數；
綜上，當m=1，n=1時，為“平底型”函數．
分析：（1）考查函數是否全部具備“平底型”函數的定義中的2個條件：①在一個閉區間上，函數值是個常數，②在閉區間外的定義域內，函數值大于此常數．
（2）要使一個式子大于或等于f（x）恒成立，需使式子的最小值大于或等于f（x）即可，從而得到f（x）≤2，
結合“平底型”函數f（x）的圖象可得，當x∈[0.5，2.5]時，f（x）≤2成立．
（3）假定函數是“平底型”函數，則函數解析式應滿足“平底型”函數的2個條件，化簡函數解析式，檢驗“平底型”函數的2個條件同時具備的m、n值是否存在．
點評：本題的考點是函數恒成立問題，綜合考查函數概念及構成要素，及不等式中的恒成立問題，體現等價轉化和分類討論的數學思想，關鍵是對新概念的理解．