Question

對于定義在D上的函數y=f（x），若同時滿足．
①存在閉區間[a，b]⊆D，使得任取x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c （c是常數）；
②對于D內任意x₂，當x₂∉[a，b]時總有f（x₂）＞c稱f（x）為“平底型”函數．
（1）（理）判斷f₁（x）=|x-1|+|x-2|，f₂（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函數？簡要說明理由；
（文）判斷f₁（x）=|x-1|+|x-2|，f₂（x）=x-|x-3|是否是“平底型”函數？簡要說明理由；
（2）（理）設f（x）是（1）中的“平底型”函數，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），k∈R且k≠0，對一切t∈R恒成立，求實數x的范圍；
（文）設f（x）是（1）中的“平底型”函數，若|t-1|+|t+1|≥f（x），對一切t∈R恒成立，求實數x的范圍；
（3）（理）若F（x）=mx+

x2+2x+n

，x∈[-2，+∞）是“平底型”函數，求m和n的值；
（文）若F（x）=m|x-1|+n|x-2|是“平底型”函數，求m和n滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）考查函數是否全部具備“平底型”函數的定義中的2個條件：①在一個閉區間上，函數值是個常數，
②在閉區間外的定義域內，函數值大于此常數．
（2）要使一個式子大于或等于f（x）恒成立，需使式子的最小值大于或等于f（x）即可，從而得到f（x）
≤2，結合“平底型”函數f（x）的圖象可得，當x∈[0.5，2.5]時，f（x）≤2成立．
（3）假定函數是“平底型”函數，則函數解析式應滿足“平底型”函數的2個條件，
化簡函數解析式，檢驗“平底型”函數的2個條件同時具備的m、n值是否存在．

解答：解：（1）（理）f₁（x）是，∵函數定義域R，在區間[1，2]上，f₁（x）=1，在區間[1，2]外，f₁（x）＞1，
f₂（x）不是，∵在（-∞，2]上，f₂（x）=2，在（-∞，2]外，f₂（x）＞2，而（-∞，2]不是閉區間．
（文）f₁（x）是，理由同（理）f₁（x），f₂（x）不是，∵在[3，+∞）上，f₂（x）=3，在[3，+∞）外，
f₂（x）＜3．
（2）（理）|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），即  f（x）≤|

t

k

-1|+|

t

k

+1|，∵|

t

k

-1|+|

t

k

+1|的最小值是2，
∴f（x）≤2，又由f（x）=|x-1|+|x-2|，得 x∈[0.5，2.5]時，f（x）≤2，故x的范圍是[0.5，2.5]．
（文）∵|t-1|+|t+1|≥f（x），|t-1|+|t+1|的最小值是2，∴f（x）≤2，
 又由f（x）=|x-1|+|x-2|，得 x∈[0.5，2.5]時，f（x）≤2，故x的范圍是[0.5，2.5]．
（3）（理）x²+2x+n=（mx-c）²
則m²=1，-2mc=2，c²=n；解得m=1，c=-1，n=1，①，或m=-1，c=1，n=1，②
①情況下，f（x）=

2x+1     x≥-1 -1          -2≤x＜-1

是“平底型”函數；
②情況下，f（x）=

-2x-1    -2≤x≤-1 -1          x＞-1

不是“平底型”函數；
綜上，當m=1，n=1時，為“平底型”函數
（文）f（x）=

-(m+n)x+m+2n     x＜1 (m-n)x-m+2n        1≤x≤ (m+n)x-m-2n         x＞2

2
1°當m+n＞0時
若m-n=0，是“平底型”函數；若m-n≠0，不是“平底型”函數
2°當m+n＜0時，不是“平底型”函數
3°m+n=0
若m-n＞0，不是“平底型”函數
若m-n＜0，不是“平底型”函數
若m-n=0，f（x）=0，顯然不是“平底型”函數．
故當m+n＞0，且m-n=0時，是“平底型”函數

點評：本題綜合考查函數概念及構成要素，及不等式中的恒成立問題，體現等價轉化和分類討論的數學思想，屬于基礎題．