Question

對于定義在D上的函數f（x），如果存在常數M和N，使得對于任意x∈D，都有M≤f（x）≤N成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的一個下界，N稱為函數f（x）的一個上界．
（1）判斷函數f（x）=log₂x-x²在（0，+∞）上是否為有界函數，不必說明理由；
（2）判斷函數f（x）=1+（

1

2

）^x+（

1

4

）^x在[0，+∞）上是否為有界函數，請說明理由
（3）若函數f（x）=1+a（

1

2

）^x+（

1

4

）^x在[0，+∞）上是有界函數，且3是f（x）的一個上界，-3是f（x）的一個下界，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據有界函數的定義直接判斷即可，（2）根據函數的單調性即可得到結論，（3）根據函數的有界性，建立條件關系即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）函數f（x）=log₂x-x²在（0，+∞）上不是有界函數．
（2）∵f（x）=1+（

1

2

）^x+（

1

4

）^x，
∴f（x）在（-∞，0）上單調遞減，
∴f（x）≥f（0）=3，
即f（x）在（-∞，0）的值域為[3，+∞），
故存在常數M≤3，使|f（x）|≥M成立．
但不存在N，使f（x）≤N成立，
∴函數f（x）在[0，+∞）上不是有界函數． 
（3）若函數f（x）=1+a（

1

2

）^x+（

1

4

）^x在[0，+∞）上是有界函數，且3是f（x）的一個上界，-3是f（x）的一個下界，
則|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，
設t=（

1

2

）^x，t∈（0，1]，由-3≤f（x）≤3，
得-3≤1+at+t²≤3，
∴-（t+

4

t

）≤a≤

2

t

-t在（0，1]上恒成立…（6分）
設h（t）=-t-

4

t

，p（t）=

2

t

-t，
則h（t）在（0，1]上遞增；p（t）在（0，1]上遞減，
h（t）在（0，1]上的最大值為h（1）=-5；
p（t）在（0，1]上的最小值為p（1）=1，
∴實數a的取值范圍為[-5，1]．

點評：本題主要考查函數的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，正確理解新定義，合理地進行等價轉化是解決本題的關鍵．