Question

對于定義在D上的函數f（x），若存在距離為d的兩條直線y=kx+m₁和y=kx+m₂，使得對任意x∈D都有kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂恒成立，則稱函數f（x）（x∈D）有一個寬度為d的通道．給出下列函數：①f(x)=

1

x

，②f（x）=sinx，③f(x)=

x2-1

，其中在區間[1，+∞）上通道寬度可以為1的函數有（　　）

A．①②

B．①③

C．①

D．③

Answer 1

分析：對于①，只需考慮反比例函數在[1，+∞）上的值域即可；
對于②，要分別考慮函數的值域和圖象性質；
對于③，則需從函數圖象入手，尋找符合條件的直線即可．

解答：解：對于①，當x∈[1，+∞）時，0＜

1

x

≤1，故在[1，+∞）有一個寬度為1的通道，兩條直線可取y=0，y=1；
對于②，當x∈[1，+∞）時，-1≤sinx≤1，故在[1，+∞）不存在一個寬度為1的通道；
對于③，當x∈[1，+∞）時，f(x)=

x2-1

表示雙曲線x²-y²=1在第一象限的部分，雙曲線的漸近線為y=x，故可取另一直線為y=x-2，滿足在[1，+∞）有一個寬度為1的通道；
∴在區間[1，+∞）上通道寬度可以為1的函數有①③
故答案為：①③

點評：本題考查的重點是對新定義的理解，解題的關鍵是通過研究函數的性質，找出滿足題意的直線．