Question

【題目】已知橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，

直線與以橢圓C的右焦點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設P為橢圓C上一點，若過點的直線與橢圓C相交于不同的兩點S和T，

滿足（O為坐標原點），求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（1）設橢圓的方程，用待定系數法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據題意設直線方程，有的題設條件已知點，而斜率未知；有的題設條件已知斜率，點不定，可由點斜式設直線方程．第二步：聯立方程：把所設直線方程與橢圓的方程聯立，消去一個元，得到一個一元二次方程．第三步：求解判別式：計算一元二次方程根．第四步：寫出根與系數的關系．第五步：根據題設條件求解問題中結論．．

試題解析：（Ⅰ）由題意，以橢圓的右焦點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓的方程為，

∴圓心到直線的距離（*）

∵橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，

∴,， 代入（*）式得，∴，

故所求橢圓方程為

（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在，設直線方程為，設，

將直線方程代入橢圓方程得：，

∴，∴．

設,，則，

由，

當,直線為軸， 點在橢圓上適合題意；

當，得∴．

將上式代入橢圓方程得：，

整理得：，由知，，所以，

綜上可得．