Question

【題目】已知函數， ， ，且的最小值為．

（1）求的值；

（2）若不等式對任意恒成立，其中是自然對數的底數，求的取值范圍；

（3）設曲線與曲線交于點，且兩曲線在點處的切線分別為， ．試判斷， 與軸是否能圍成等腰三角形？若能，確定所圍成的等腰三角形的個數；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）． （3）， 與軸能圍成2個等腰三角形．

【解析】試題分析：

(1)由原函數與導函數的關系可求得a=-2；

(2) 不等式即，構造函數令，分類討論可得的取值范圍是．

(3) 設， 的傾斜角分別為， ，若， 與軸所圍成的三角形是等腰三角形，則或． 分類討論： 和兩種情況可得， 與軸能圍成2個等腰三角形．

試題解析：

（1），所以，則的最小值為，

因此拋物線的對稱軸為，即，所以．

（2）由（1）知， ．不等式即，

所以對任意恒成立．

令，則．

①若，則，所以函數在上單調減，

故，解得，

此時無符合題意的值； ②若，令，解得．

列表如下：

	↘	極小值	↗

由題意，可知 解得．

故的取值范圍為．

（3）設， 的傾斜角分別為， ，則， ．

因為，所以， ，則， 均為銳角．

若， 與軸所圍成的三角形是等腰三角形，則或．

①當時， ，即，解得，

而，即，

整理得， ，解得．

所以存在唯一的滿足題意．

②當時，由可得，

而，即，

整理得， ．

令，則．

令，解得．列表如下：

	↘	極小值	↗

而， ， ，

所以在內有一個零點，也是上的唯一零點．

所以存在唯一的滿足題意．

綜上所述， ， 與軸能圍成2個等腰三角形．