Question

【題目】霧霾天氣是一種大氣污染狀態，PM2.5被認為是造成霧霾天氣的“元兇”，PM2.5日均值越小，空氣質量越好．國家環境標準設定的PM2.5日均值（微克/立方米）與空氣質量等級對應關系如表：

PM2.5日均值 （微克/立方米）	0﹣﹣35	35﹣﹣75	75﹣﹣115	115﹣﹣150	150﹣﹣250	250以上
空氣質量等級	1級 優	2級 良	3級 輕度污染	4級 中度污染	5級 重度污染	6級 嚴重污染

由某市城市環境監測網獲得4月份某5天甲、乙兩城市的空氣質量指數數據，用莖葉圖表示，如圖所示．

（1）試根據統計數據，分別寫出兩城區的PM2.5日均值的中位數，并從中位數角度判斷哪個城區的空氣質量較好？
（2）考慮用頻率估計概率的方法，試根據統計數據，估計甲城區某一天空氣質量等級為3
（3）分別從甲、乙兩個城區的統計數據中任取一個，試求這兩城區空氣質量等級相同的概率．

Answer 1

【答案】
（1）

解：甲城市5天數據由小到大排列：

59，83，87，95，116，

乙城市5天數據由小到大排列：

66，68，85，88，98，

∴甲的中位數是87，乙的中位數是85，

∴乙城市的空氣質量較好．

（2）

解：根據上面的統計數據，可得在這五天中甲城市空氣質量等級為3級輕度污染的頻率為 ，

則估計甲城市某一天的空氣質量等級為3級輕度污染的概率為 ．

（3）

解：設事件A：從甲城市和乙城市的上述數據中分別任取一個，這兩個城市的空氣質量等級相同，

由題意可知，從甲城市和乙城市的監測數據中分別任取一個，共有25個結果，分別記為：

（59，66），（59，68），（59，85），（59，88）（59，98）

（83，66），（83，68），（83，85），（83，88）（83，98）

（87，66），（87，68），（87，85），（87，88）（87，98）

（95，66），（95，68），（95，85），（95，88）（95，98）

（116，66），（116，68），（116，85），（116，88）（116，98），

其數據表示兩城市空氣質量等級相同的包括同為2級良的為甲59，乙66，乙68；

同為3級輕度污染的為甲83，甲87，甲95； 乙85，乙88，乙98；則空氣質量等級相同的為：

（59，66），（59，68），

（83，85），（83，88），（83，98），

（87，85），（87，88），（87，98），

（95，85），（95，88），（95，98），

共11個結果．

所以這兩個城市空氣質量等級相同的概率為

【解析】（1）由莖葉圖可知甲乙兩個城市5天數據由小到大排列，求出中位數，比較兩個中位數的大小可得哪個城市的空氣質量較好；（2）由莖葉圖可知在抽取的五天中，甲城市空氣質量等級為3級輕度污染的頻數為3，進而得到頻率，進而估算出概率；（3）從甲城市和乙城市的統計數據中任取一個，共有25種不同情況，統計這兩個城市空氣質量等級相同的情況個數，代入古典概型概率計算公式可得答案
【考點精析】掌握莖葉圖是解答本題的根本，需要知道莖葉圖又稱“枝葉圖”，它的思路是將數組中的數按位數進行比較，將數的大小基本不變或變化不大的位作為一個主干（莖），將變化大的位的數作為分枝（葉），列在主干的后面，這樣就可以清楚地看到每個主干后面的幾個數，每個數具體是多少．