Question

【題目】在平面直角坐標系 中，過橢圓 右焦點 的直線交橢圓于兩點 ， 為 的中點，且 的斜率為 .

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設過點 的直線 （不與坐標軸垂直）與橢圓交于 兩點，問：在 軸上是否存在定點 ，使得 為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）當點的坐標為 時， 為定值.

【解析】試題分析：

(1)利用題意結合幾何關系可求得 ，所以橢圓 的方程為

(2)設出直線方程，與橢圓方程聯立，整理可得當點的坐標為 時， 為定值.

試題解析：

解：(1) 設 ,則 ，兩式相減得，

，又 ， 為的中點，且 的斜率為 ，所以 ，即 ，所以可以解得 ，即 ，即 ，又因為 ，所以橢圓 的方程為 .

(2) 設直線的方程為 ，代入橢圓 的方程為，得 ，設 ，則 .

，根據題意，假設軸上存在定點 ，使得 為定值，則有

，要使上式為定值，即與 無關，則應 ，即 ，故當點的坐標為 時， 為定值.