Question

【題目】四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD是菱形，且PD=DA=2，∠CDA=60°，過點B作直線l∥PD，Q為直線l上一動點．
（1）求證：QP⊥AC；
（2）當二面角Q﹣AC﹣P的大小為120°時，求QB的長；
（3）在（2）的條件下，求三棱錐Q﹣ACP的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設AC∩BD=O，

∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

∵PD⊥平ABCD，AC平面ABCD，

∴PD⊥AC，又PD平面PBD，BD平面PBD，PD∩BD=D，

∴AC⊥平面PBD，

∵BQ∥PD，∴Q∈平面PBD，

∴PQ平面PBD，

∴AC⊥PQ．

（2）解：連結OP，OQ，

∵△ACD是邊長為2的等邊三角形，

∴OD=OB= ，∴tan∠POD= ，

∴∠POD小于60°，

∴Q點位于B點上方，

由（1）知AC⊥平面PDBQ，

∴AC⊥OP，AC⊥OQ，

∴∠POQ為二面角P﹣AC﹣D的平面角，

在Rt△POD中， ，設QB=x，則Rt△OBQ中， ，

在直角梯形PDBQ中， ，

在△POQ中，由余弦定理得 ，故6﹣4x＞0且3x2﹣16x+5=0，

解得 ，即 ．

（3）解：由（2）知： ，

∴ ，

∵AC⊥面POQ，

∴ ．

【解析】（1）由AC⊥BD，AC⊥PD可得AC⊥平面PBD，故而AC⊥PQ；（2）計算∠POD的大小判斷Q點大體位置，設BQ=x，計算三角形POQ的邊長，利用余弦定理解出x；（3）代入公式V= 計算．