Question

【題目】一個圓錐底面半徑為，高為，

（1）求圓錐的表面積.

（2）求圓錐的內接正四棱柱表面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）計算出圓錐的母線長，然后利用圓錐的表面積公式計算即可；

（2）設正四棱柱的底面對角線的一半為，根據軸截面上的兩個三角形相似，列出比例式求出四棱柱的高，根據正四棱柱的表面積公式得出其表面積的表達式，然后利用二次函數的基本性質得出該正四棱柱表面積的最大值.

（1）由題意可知，圓錐的母線長為，

所以，該圓錐的表面積為；

（2）如下圖所示，設正四棱柱的底面對角線的一半為，

，，即，解得，

正四棱柱的底面是一個正方形，其底邊長為，底面積為，

所以，四棱柱的底面積為，

由二次函數的基本性質可知，當時，

正四棱柱的表面積有最大值，即.