Question

【題目】已知f（x）=logmx（m為常數，m＞0且m≠1），設f（a1），f（a2），…，f（an）（n∈N+）是首項為4，公差為2的等差數列．
（Ⅰ）求證：數列logman=2n+2，{an}是等比數列；
（Ⅱ）若bn=anf（an），記數列{bn}的前n項和為Sn ， 當m= 時，求Sn ．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）由題意f（an）=4+2（n﹣1）=2n+2，即logman=2n+2，
∴
∴{an}是以m4為首項，m2為公比的等比數列
解：（Ⅱ）當m= 時，
bn=anf（an）=（2n+2）2n+1 ，
Sn=422+623+824+…+（2n+2）2n+1 ， …①
2Sn=423+624+…+（2n）2n+1+（2n+2）2n+2 ， …②
②﹣①并整理，得Sn=2n+3n
【解析】（Ⅰ）由題意得：logman=2n+2，即 ，可得{an}是等比數列；（Ⅱ）若bn=anf（an）=（2n+2）2n+1 ， 利用錯位相減法，可得Sn ．
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系即可以解答此題．