Question

【題目】已知點A（0，﹣2），橢圓E： 的離心率為 ，F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為 ，O為坐標原點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設過點A的動直線與橢圓E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設F（c，0）， ，解得 ，又 ，∴a=2，b=1，

∴橢圓E： ；

（2）解：當l⊥x軸時，不合題意；

當直線l斜率存在時，設直線l：y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2），

聯立 ，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．

由△=16（4k2﹣3）＞0，得 ，即 或k ．

，

從而

= ，

又點O到直線PQ的距離 ，

∴△OPQ的面積 ，

設 ，則t＞0，

∴ ，當且僅當t=2，

即 時，等號成立，且△＞0．

此時 ．

【解析】（1）設出F，由直線AF的斜率為 求得c，結合離心率求得a，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（2）當l⊥x軸時，不合題意；當直線l斜率存在時，設直線l：y=kx﹣2，聯立直線方程和橢圓方程，由判別式大于0求得k的范圍，再由弦長公式求得|PQ|，由點到直線的距離公式求得O到l的距離，代入三角形面積公式，化簡后換元，利用基本不等式求得最值，進一步求出k值，則直線方程可求．