Question

【題目】已知橢圓經過點，且離心率等于．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點，與圓交于兩點．若，試求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：（1）由題意得關于a,b,c方程組，解方程組可得橢圓的方程；（2）根據垂徑定理可求直線被圓解得弦長CD，根據韋達定理以及弦長公式可求AB,即得關于m的函數關系式，結合直線與圓相交條件得m取值范圍，根據m范圍求的取值范圍．

試題解析：（1）由題意可得e==，

a2﹣b2=c2，

將M的坐標代入橢圓方程，可得

+=1，

解得a=2，b=c=2，

即有橢圓的方程為+=1；

（2）①O到直線y=x+m的距離為d=，

由弦長公式可得2=2，

解得m=±，

可得直線的方程為y=x±；

②由y=x+m代入橢圓方程x2+2y2=8，

可得3x2+4mx+2m2﹣8=0，

由判別式為△=16m2﹣12（2m2﹣8）＞0，

化簡可得m2＜12，

由直線和圓相交的條件可得d＜r，

即有＜，即為m2＜4，

綜上可得m的范圍是（﹣2，2）．

設A（x1，y1），B（x2，y2），

可得x1+x2=﹣，x1x2=，

即有弦長|AB|=

==，

|CD|=2=，

即有λ===，

由0＜4﹣m2≤4，可得≥2，

即有λ≥．

則λ的取值范圍是[，+∞）．