Question

已知圓C經過點A（0，3）和B（3，2），且圓心C在直線y=x上．
（Ⅰ） 求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=2x+m被圓C所截得的弦長為4，求實數m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設圓C的圓心坐標為C（a，a），再由圓C經過A（0，3）、B（3，2）兩點，可得|CA|²=|CB|²，即可求得圓心坐標和半徑，從而求得圓C的方程．
（Ⅱ）通過圓心距、半徑、半弦長滿足的勾股定理，即可求實數m的值．

解答：解：（Ⅰ）由于圓心在直線y=x上，故可設圓C的圓心坐標為C（a，a）． 再由圓C經過A（0，3）、B（3，2）兩點，
可得|CA|=|CB|，∴|CA|²=|CB|²，∴（a-0）²+（a-3）²=（a-3）²+（a-2）²．
解得 a=1，故圓心C（1，1），半徑r=

(a-3)2+(a-2)2

=

5

，
故圓C的方程為 （x-1）²+（y-1）²=5，
（Ⅱ）圓心C（1，1），半徑r=

(a-3)2+(a-2)2

=

5

，
圓心到直線y=2x+m的距離為：

|2-1+m|

5

=

|1+m|

5

直線被圓C所截得的弦長為4，所以半弦長為：2；
所以（

5

）²=2²+（

|1+m|

5

）²，
所以實數m的值為-1±

5

．

點評：本題主要考查求圓的標準方程的方法，求出圓心坐標和半徑的值，是解題的關鍵，屬于中檔題．