Question

【題目】在梯形中，，且，是等腰直角三角形，其中為斜邊，若把沿邊折疊到的位置，使平面平面．

（1）證明：．

（2）若為棱的中點，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）由面面垂直，可知平面，進而可證.

（2）為坐標原點，，分別為，軸的正方向，過點平行于的直線為軸，建立空間直角坐標系，設，即可得，，，從而可求出平面的法向量，平面的法向量，進而可求二面角的余弦值.

（1）證明：因為是等腰直角三角形，為斜邊，所以．

因為平面平面，平面平面，所以平面．

因為平面，所以．

（2）解：由（1）知，平面，則以為坐標原點，

，分別為，軸的正方向，過點平行于的直線為軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系．

設，則，，，，，

故，，．

設平面的法向量，則，

令，得．

設平面的法向量，則，

令，得，則．

由圖可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為．