Question

【題目】在四棱錐中，是等邊三角形，點在棱上，平面平面.

（1）求證：平面平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

(1) 取中點為，連接，首先證明平面，然后證明平面即可

(2)建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用向量數量積求得線面角，最后根據二次函數性質求最值.

(1)證明：取中點為，連接.

因為是等邊三角形，所以.

因為平面平面且相交于，所以平面，所以.

因為，所以.

因為，所以平面.

因為平面，所以平面平面.

（2）以為原點，過作的平行線，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.

設，則，，，.

因為在棱上，可設，

所以.

設平面的法向量為，因為，

所以令，可得，即.

設直線與平面所成角為，

所以.

所以可得當時，取最大值；