【題目】已知橢圓
：
的離心率為
，且點
在橢圓上.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點
的直線與橢圓交于
，
兩點，在直線
上存在點
，使三角形
為正三角形，求
的最大值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）由離心率得
，再把已知點的坐標代入橢圓方程，結合
可解得
，得橢圓方程；
（2）設直線
方程為
，與聯立方程組，消去
，設
，
，由韋達定理得
.設線段的中點為
，得直線
方程，求出
點坐標（此結論對
也適用），
是等邊三角形等價于
，由此可把
用
表示，設
換元后，可利用基本不等式求得最值．
（1）設
，則，，所以
，
，
由點
在橢圓
上得
，
，
，所以橢圓的方程為.
（2）顯然，直線的斜率存在，設其方程為，
與聯立方程組，消去，并化簡得
.
設，，則
，
.
設線段的中點為，則直線：
，令
，
又
，得點的坐標為
，顯然當時也符合，
所以
.
又因為
，
由三角形
為正三角形得，
所以
兩邊平方可得
，得
.
令，則
，當且僅當
，即
時等號成立，此時
，所以的最大值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線
的參數方程為
（
為參數），曲線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點為極點，以
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.
（1）求曲線與曲線的公共點的極坐標；
（2）若點
的極坐標為
，設曲線與
軸相交于點
，則在曲線上是否存在點
，使得
，若存在，求出點的直角坐標，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某科研團隊對
例新冠肺炎確診患者的臨床特征進行了回顧性分析.其中
名吸煙患者中，重癥人數為
人，重癥比例約為
；
名非吸煙患者中，重癥人數為
人，重癥比例為
.
（1）根據以上數據完成
列聯表；
（2）根據（1）中列聯表數據，能否在犯錯誤的概率不超過
的前提下認為新冠肺炎重癥與吸煙有關？
（3）已知每例重癥患者平均治療費用約為
萬元，每例輕癥患者平均治療費用約為
萬元.根據（1）中列聯表數據，分別求吸煙患者和非吸煙患者的平均治療費用.（結果保留兩位小數）
附：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1D1，BC，A1D1的中點，有下列四個結論：
①AP與CM是異面直線；②AP，CM，DD1相交于一點；③MN∥BD1；
④MN∥平面BB1D1D．
其中所有正確結論的編號是（ ）
A.①④B.②④C.①④D.②③④
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，邊長為4的正方形
，
為
中點，
為
邊上一動點，現將
，
分別沿
，
折起，使得
，
重合為點
，形成四棱錐
，過點作
平面
于
.①平面
平面
；②當為
中點時，三棱錐
的體積為
；③為
的垂心；④
長的取值范圍為
.則以上判斷正確的有______（填正確命題的序號）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某晚會上某歌舞節目的表演者是3個女孩和4個男孩．演出結束后，7個人合影留念（3個人站在前排，4個人站在后排），其中男孩甲、乙要求站在一起，女孩丙不能站在兩邊，不同站法的種數為（ ）
A.96B.240C.288D.432
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1為某省2018年1~4月快遞業務量統計圖，圖2是該省2018年1~4月快遞業務收入統計圖，下列對統計圖理解錯誤的是（ ）
A. 2018年1~4月的業務量，3月最高，2月最低，差值接近2000萬件
B. 2018年1~4月的業務量同比增長率均超過50%，在3月底最高
C. 從兩圖來看，2018年1~4月中的同一個月的快遞業務量與收入的同比增長率并不完全一致
D. 從1~4月來看，該省在2018年快遞業務收入同比增長率逐月增長
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