Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，為等腰直角三角形，，D為BC的中點．

（1）求證：平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】

（1）連接交與點，可證得，從而得證線面平行；

（2）以DA，DC所在直線，過點D且平行于的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出平面的一個法向量，由直線的方向向量與法向量夾角的余弦值的絕對值求得線面角的正弦值．

（1）連接，記，連接DE，

在直三棱柱中，易知側面為平行四邊形，所以E是的中點，

又D為BC的中點，所以，

又平面，平面，所以平面．

（2）因為，D為BC的中點，所以，

又在直三棱柱中，平面ABC，

所以可以DA，DC所在直線，過點D且平行于的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為，為等腰直角三角形，

所以，，，，

故，，．

設平面的法向量為，則，即，所以，

令，得，則為平面的一個法向量，

設直線與平面所成的角為，

則．

故直線與平面所成角的正弦值為．