Question

【題目】設函數，，，

（1）求在處的切線的一般式方程；

（2）請判斷與的圖像有幾個交點?

（3）設為函數的極值點，為與的圖像一個交點的橫坐標，且，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）與的圖像有2交點（3）證明見解析

【解析】

（1）利用導數求得切線的斜率，結合切點坐標求得切線方程.

（2）構造函數，利用導數研究的單調區間和零點，由此判斷與的圖像的交點個數.

（3）結合（2）以及題意得到，化簡得到，利用放縮法以及取對數運算，化簡證得成立.

（1）由得切線的斜率為，切點為.

∴切線方程為：，

∴所求切線的一般式方程為.

（2）令由題意可知，的定義域為，

且.

令，得，由，得，可知在

內單調遞減，

又，且，

故在內有唯一解，從而在內有唯一解，不妨設為，

則，當時，，∴在內單調遞增；

當時，，∴在內單調遞減，

因此是的唯一極值點.

令，則當時，，故在內單調遞減，

∴當時，，即，

從而，

又因為，∴在內有唯一零點，

又在內有唯一零點1，從而，在內恰有兩個零點.

所以與的圖像有2交點；

（3）由（2）及題意，即

從而，即,

∵當時，，又，故,

兩邊取對數，得，

于是，整理得，命題得證.