Question

【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長為，右焦點為 (1) 求橢圓的標準方程；(2) 若直線經過點且與橢圓有且僅有一個公共點，過點作直線交橢圓于另一點 ①證明：當直線與直線的斜率，均存在時，.為定值；②求面積的最小值。

Answer 1

【答案】(1)(2) ①見解析②

【解析】

(1)根據條件列關于a,b,c的方程組解得a,b，即得結果，(2) ①先設直線方程：，再根據直線與橢圓相切得關系，并解得P點坐標，最后根據斜率公式計算.為定值，②先確定三角形為直角三角形，再利用弦長公式計算PQ,根據面積公式得函數關系式，最后根據函數單調性確定最小值.

解：（1）由題意得，

所以橢圓方程為

（2）①證明：由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為，

因為點在直線上，則，

聯立直線與橢圓可得

因為直線與橢圓只有一個交點，所以，即，

由韋達定理得，

又因為過右焦點，則

而，所以.

②因為F(2,0),所以，，所以，即,

所以三角形的面積,，

因為，所以方程為，設

與橢圓方程聯立得，

則，，，

所以

令，則，令，因此當時，面積取最小值.