Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，△ABD是等腰直角三角形，AD⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，且EC⊥平面ABC，EC=2．

（1）求證：AD⊥BE
（2）求平面AEC和平面BDE所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：以OA，OC，OD為x，y，z的正方向建立直角坐標系，

則有：

由于 ，

故AD⊥BE．

（2）解：如圖建立坐標系，

則 ，

，

設平面AEC的法向量為 ，

則 所以 ，

令y1=1，則

所以 ，

設平面BDE的法向量為

則 所以 ，令x2=1，則y2=0，z1=﹣1

所以 ，

所以 ．

【解析】（1）建立空間坐標系，求出點的坐標，利用向量法證明直線垂直．（2）求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．