Question

已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2

5

sinθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位．
（1）寫出曲線C的普通方程，并說明它表示什么曲線；
（2）過點(diǎn)P（3，

5

）作傾斜角為α=

3π

4

的直線L與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長度和|PA|•|PB|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）根據(jù)極坐標(biāo)和角坐標(biāo)的互化公式把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，從而得出結(jié)論．
（2）設(shè)直線l的參數(shù)方程是

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

（t是參數(shù)），代人曲線C的方程，化簡并利用韋達(dá)定理、參數(shù)的幾何意義求得線段AB的長度和|PA|•|PB|的值．

解答： 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2

5

sinθ，化為直角坐標(biāo)方程為x2 +(y-

5

)2=5，
它是以(0，

5

)為圓心，半徑為

5

的圓．
（2）設(shè)直線l的參數(shù)方程是

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

（t是參數(shù)），
代人x2+y2-2

5

y=0，得t2-3

2

t+4=0．
∵t1+t2=3

2

，t₁•t₂=4，
∴|AB|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

2

，|PA|•|PB|=4．

點(diǎn)評：本題主要考查把極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)返程的方法，韋達(dá)定理、參數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．