Question

設等差數列的公差為，且．若設是從開始的前項數列的和，即，，如此下去，其中數列是從第開始到第)項為止的數列的和，即．
(1)若數列,試找出一組滿足條件的,使得： ；
(2)試證明對于數列，一定可通過適當的劃分，使所得的數列中的各數都為平方數；
(3)若等差數列中．試探索該數列中是否存在無窮整數數列
,使得為等比數列,如存在,就求出數列；如不存在，則說明理由．

Answer 1

(1);(2)證明見解析；（3）不存在，證明見解析．

試題分析：（1）仔細閱讀題目，其實會發現第2小題已經給我們指明了方向，從第一個數開始適當劃分，使每段的和為平方數，同時想辦法滿足，這樣既完成了第1小題，又可完成第2小題，從最簡單入手，，，因此思考是否可能有呢？，這樣第1小題完成；（2）這類問題實質就是要我們作出一個符合條件的劃分，由（1）的分析，可知只要，則所得劃分就是符合題意的，事實上，，
，是完全平方數；（3）這類問題總是假設存在，然后推導，能求出就說明存在，不能求出或推導出矛盾的結論就說明不存在，可以計算出，數列必定是公比大于1的整數的等比數列，但事實上，，從而要求是完全平方數，這是不可能的，故假設錯誤，本題結論是不存在．
試題解析：（1）則;（4分）
(2)記即,又由，,所以第二段可取3個數，；再由，即,因此第三段可取9個數，即，依次下去, 一般地:,（6分）
所以，（8分）
（9分）
則．
由此得證．（11分）
（3）不存在．令,則 
假設存在符合題意的等比數列, 則的公比必為大于的整
數,(,因此，即
此時,注意到,  （14分）
要使成立,則必為完全平方數,（16分）
但,矛盾．因此不存在符合題意的等差數列．（18分）