Question

【題目】設函數，其中為常數且.新定義：若滿足，但，則稱為的回旋點.

（1）當時，分別求和的值；

（2）當時，求函數的解析式，并求出回旋點；

（3）證明函數在有且僅有兩個回旋點，并求出回旋點.

Answer 1

【答案】（1），

（2）；是的回旋點（3）見解析，，.

【解析】

（1）利用函數解析式即可求出和的值；

（2）由得出，討論和時，的解析式，即可得出當時，函數的解析式；再根據題設中回旋點的定義，分段討論，得出回旋點；

（3）將分成和兩種情況進行討論，得出內的回旋點，結合（2）中得出的內的回旋點，即可證明函數在有且僅有兩個回旋點.

解：（1）當時，

∴

（2）中時，值域也是

又，

由，得

∴當時，

同理，當時，

當時，

當，由得

，故不是的回旋點.

當時， 由得

是的回旋點

（3）當時，由解得

由于，故不是的回旋點；

當時由解得

因

故是的回旋點；

因此，函數有且僅有兩個回旋點，，.